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By John Knopfmacher

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Anknüpfend an unsere Überlegungen auf S. 2) entstehende Sequenz erwähnen, die nach links hin abbricht. 4) Satz. Ist j i 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 eine exakte Sequenz von G-Moduln, so haben wir die exakte Sequenz i j i δ j 1 1 0 −→ AG −→ B G −→ C G −→ H 1 (G, A) −→ H 1 (G, B) −→ ··· . δ Beweis. Der Homomorphismus C G → H 1 (G, A) entsteht durch die Hintereinanderschaltung der Homomorphismen δ 0 C G −→ C G /NG C = H 0 (G, C) −→ H 1 (G, A). 26 Teil I. Kohomologie der endlichen Gruppen Die Exaktheit der obigen Sequenz ist offenbar nur an der Stelle C G noch nachzuweisen.

Jedoch gilt in diesem Zusammenhang das auf S. 22 Gesagte. Im wesentlichen tritt nur immer das funktorielle Verhalten der Restriktion in Erscheinung; lediglich für kleine Dimensionen, also für die Dimensionen, für die wir eine konkrete Interpretation der Kohomologiegruppen besitzen, haben wir hin und wieder auch die Restriktion in expliziter Weise zu interpretieren. 19) nahe: 42 Teil I. 10) Definition. Der durch die Abbildung Res−2 : H −2 (G, ZZ) −→ H −2 (g, ZZ) induzierte Homomorphismus Ver : Gab −→ g ab heißt die Verlagerung von G nach g.

Q ) σ∈G σ q + i=1 (−1)i (σ1 , . . , σi−1 , σi σ, σ −1 , σi+1 , . . , σq ) +(−1)q+1 x(σ1 , . . , σq , σ) für x ∈ A−q−2 , q ≥ 0. q-Kozykeln sind also alle Abbildungen x : G × · · · × G −→ A mit ∂q+1 x = 0, q-Koränder solche unter diesen, für die es ein y ∈ Aq−1 mit x = ∂q y gibt. Es ist ein bemerkenswerter Umstand, dass in den algebraischen Anwendungen nur die Kohomologiegruppen in den niedrigen Dimensionen auftreten. Dies liegt daran, dass man nur für sie eine konkrete algebraische Interpretation kennt.

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